Что такое частное чисел?

Частное чисел — это результат деления одного числа (делимого) на другое ненулевое число (делитель). Если $a$ и $b$ — числа, $b\neq 0$, то частное обозначают $a:b$ или $\frac{a}{b}$.

Ключевые моменты простыми словами:

1. Смысл
   Частное показывает, сколько раз делитель «умещается» в делимом (или какую долю составляет делимое от делителя).
   Примеры:

• $12:3=4$ — тройка помещается в 12 ровно четыре раза.

• $7:2=3{,}5$ — двойка «помещается» три с половиной раза.

2. Связь с умножением
   Деление — операция, обратная умножению: если $a:b=q$, то $q\cdot b=a$.

3. Запись в виде дроби
   Частное $\frac{a}{b}$ можно воспринимать как дробь. Иногда дробь приводится к десятичному виду (например, $7:2=3{,}5$), иногда — бесконечная периодическая десятичная дробь (например, $1:3=0{,}\overline{3}$).

4. Целочисленное деление и остаток
   Если деление «не делится нацело», в арифметике целых чисел часто пишут:
   $a=bq+r$, где $q$ — целая часть частного, $r$ — остаток, $0\le r$.
   Например, $7=2\cdot3+1$, значит $7:2=3$ (частное в целых), остаток $1$. В обычных действительных числах это то же самое, что $7:2=3{,}5$.

5. Знаки

• Плюс на плюс — плюс: $6:(+2)=+3$.

• Минус на плюс — минус: $(-6):(+2)=-3$.

• Плюс на минус — минус: $6:(-2)=-3$.

• Минус на минус — плюс: $(-6):(-2)=+3$.

6. Свойства

• Деление не является коммутативным: обычно $a:b \ne b:a$.

• Деление не ассоциативно: $(a:b):c \ne a:(b:c)$.

• Если умножить оба числа на одно и то же ненулевое число, частное не изменится: $\frac{ka}{kb}=\frac{a}{b}$ при $k\ne0$.

• Если умножить только делимое на $k$, частное умножится на $k$; если умножить только делитель на $k$, частное разделится на $k$.

7. Запрет деления на ноль
   Деление на ноль не определено: частного $a:0$ не существует ни при каком $a$.

Коротко: частное — это число, которое получается при делении одного числа на другое (ненулевое); его можно записать как дробь $\frac{a}{b}$, а при необходимости — как десятичное число.