СРОЧНО!!! ПОМОГИТЕ!! ДАЮ 50 БАЛОВ! ЭТО ПОСЛЕДНЯЯ ЗАДАЧА:((!!! На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так до тех пор, пока одно из чисел на доске не станет нулём. Какие величины являются инвариантами процесса? Выберите все правильные варианты ответа:



Сумма всех чисел на доске



Сумма всех чисел на доске после применения n операций, увеличенная на n


Сумма всех чисел на доске и чисел на Петиной бумажке



Произведение всех чисел на доске



Произведение всех чисел на доске, умноженное на произведение чисел на Петиной бумажке



Произведение всех чисел на доске, увеличенное на произведение чисел на Петиной бумажке



Произведение всех чисел на доске, увеличенное на сумму чисел на Петиной бумажке

Для решения задачи нужно понять, какие величины остаются неизменными (инвариантами) на протяжении процесса, описанного в условии. Давайте проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа:

1. Сумма всех чисел на доске:
   В процессе каждой операции одно из чисел на доске уменьшается на 1, следовательно, сумма всех чисел на доске будет постоянно уменьшаться на 1 с каждой операцией. Это значит, что эта сумма не является инвариантом, так как она меняется на каждом шаге. Этот вариант не подходит.

2. Сумма всех чисел на доске после применения n операций, увеличенная на n:
   На каждом шаге одно из чисел на доске уменьшается на 1, а Петя делает новую запись на бумажке. Таким образом, если считать количество выполненных операций $n$, то сумма чисел на доске уменьшается на $n$. Если к оставшейся сумме чисел на доске прибавить $n$, мы получим исходную сумму чисел. Это величина действительно остается постоянной и является инвариантом. Этот вариант правильный.

3. Сумма всех чисел на доске и чисел на Петиной бумажке:
   Каждый раз, когда Петя записывает произведение на бумажку, одно из чисел на доске уменьшается на 1, а значит, общая сумма чисел на доске и записанных произведений (которые он записал на бумажке) остается постоянной. Таким образом, сумма чисел на доске и чисел на бумажке также является инвариантом. Этот вариант правильный.

4. Произведение всех чисел на доске:
   На каждом шаге одно из чисел на доске уменьшается, следовательно, произведение всех чисел на доске также будет изменяться, уменьшаясь каждый раз. Значит, оно не является инвариантом. Этот вариант не подходит.

5. Произведение всех чисел на доске, умноженное на произведение чисел на Петиной бумажке:
   Произведение чисел на доске меняется на каждом шаге, так как одно из чисел уменьшается на 1. Более того, произведение чисел, записанных на бумажке, тоже изменяется с каждым шагом. Это значит, что произведение чисел на доске, умноженное на произведение чисел на бумажке, также не является постоянным. Этот вариант не подходит.

6. Произведение всех чисел на доске, увеличенное на произведение чисел на Петиной бумажке:
   Здесь также используется произведение чисел на доске, которое меняется на каждом шаге, как и произведение чисел на бумажке. Поэтому сумма этих величин также не будет инвариантом. Этот вариант не подходит.

7. Произведение всех чисел на доске, увеличенное на сумму чисел на Петиной бумажке:
   Подобно предыдущим вариантам, произведение чисел на доске будет меняться, и хотя сумма чисел на бумажке увеличивается на каждом шаге, это не сохраняет выражение в неизменном виде. Этот вариант не подходит.

Вывод:

Правильными инвариантами в этой задаче являются:

• Сумма всех чисел на доске после применения n операций, увеличенная на n.
• Сумма всех чисел на доске и чисел на Петиной бумажке.