Квадратная таблица 3×3 заполнена попарно различными цифрами таким образом, что все трехзначные числа, которые можно прочитать в строках этой таблицы слева направо и в столбцах сверху вниз, делятся на 6. Сколько из этих шести чисел могут делиться на 5? Перечислите все возможности и докажите, что других возможностей нет.

Все шесть чисел делятся на 6, значит, они чётные и сумма цифр каждого кратна 3. Поэтому последние цифры всех строк и столбцов должны быть чётными. В таблице 3×3 последние цифры: у строк — c, f, i; у столбцов — g, h, i. Таким образом, множество последних цифр — {c, f, i, g, h}, причём i используется дважды. Всего чётных цифр пять: 0, 2, 4, 6, 8. Значит, именно они занимают позиции c, f, i, g, h (каждая по одному разу).

Первые цифры строк и столбцов не могут быть нулями, поэтому a, b, c, d, g ≠ 0. Следовательно, c и g не равны 0. Тогда 0 может находиться только в f, h или i.

Рассмотрим случай i = 0. Тогда c, f, g, h — это цифры 2, 4, 6, 8. Их остатки при делении на 3: 2 → 2, 4 → 1, 6 → 0, 8 → 2. Сумма цифр третьего столбца c + f + 0 должна делиться на 3, поэтому c + f ≡ 0 (mod 3). Это возможно, только если {c, f} = {1, 2} по модулю 3, то есть одна из цифр 4 (остаток 1), а другая — 2 или 8 (остаток 2). Тогда для g и h остаются 6 (остаток 0) и оставшаяся цифра с остатком 2. Сумма третьей строки g + h + 0 должна делиться на 3, но 0 + 2 = 2 ≠ 0 (mod 3). Противоречие. Значит, i не может быть нулём.

Следовательно, 0 находится в f или h. В обоих случаях ровно одно число (вторая строка или второй столбец) оканчивается на 0 и поэтому делится на 5. Остальные числа оканчиваются на другие чётные цифры и на 5 не делятся.

Пример таблицы, где все шесть чисел делятся на 6 и ровно одно делится на 5 (f = 0):

Числа: 132, 570, 684, 156, 378, 204 — все делятся на 6, и только 570 делится на 5.

Таким образом, из шести чисел ровно одно может делиться на 5. Других возможностей нет.

0 0 Пожаловаться