Дам 100баллов срочноооооо7. (3 балла) Изучая статистику, Сергей придумал новый метод вычисления среднего арифметического. Сергей рассуждал так. Пусть нам дан набор чисел. Я в уме легко найду среднее двух чисел. Все

числа разобью на пары и найду среднее в каждой паре. Если числа целые, буду

стараться составлять пары из двух чётных или двух нечётных чисел, чтобы

было легче считать. Может быть, у меня останется одно число без пары, но

всё равно получится набор, в котором меньше чисел. Я его ещё раз уменьшу таким же образом и рано или поздно дойду до одного числа.

XIV Олимпиада по теории вероятностей и статистике. Пригласительный тур. 13.11.2020. Вариант 1

© Лаборатория теории вероятностей МЦНМО, 2020

Пусть, например, нужно найти среднее арифметическое набора

(1, 7, 4, 5, 8). Числа 1 и 7 заменяю их средним 4, числа 4 и 8 заменяю их средним

6, и остаётся число 5 без пары. Получается набор (4, 5, 6). Тогда числа 4 и 6

заменяю их средним 5. Получается набор (5, 5), поэтому среднее арифметическое данного набора равно 5.

а) (От 6 класса) Покажите, что для вычисления среднего арифметического

произвольного числового набора этот способ не годится.

б) (От 7 класса) Друг Сергея Пётр сказал, что способ Сергея верно работает, если в числовом наборе определённое количество чисел, и неважно, каковы

сами числа. Правда ли это? Сколько чисел должно быть в наборе, чтобы способ

Сергея работал верно?

а) Давайте рассмотрим, почему метод Сергея для вычисления среднего арифметического произвольного числового набора не годится. Среднее арифметическое набора чисел обычно определяется как сумма всех чисел, делённая на их количество. В методе Сергея числа группируются парами, и для каждой пары вычисляется среднее. Этот процесс повторяется, пока не останется одно число, которое Сергей считает средним арифметическим всего набора.

Основная проблема здесь в том, что каждый шаг уменьшения количества чисел путём вычисления среднего для пар может изменить общее среднее арифметическое набора, если числа в парах не равны. При выборе пар чисел для вычисления их среднего мы фактически "теряем" информацию о различии между этими числами, что может привести к искажению реального среднего арифметического всего набора. Кроме того, если число элементов в наборе нечётно, одно число всегда останется без пары, и его влияние на конечный результат будет другим по сравнению с теми числами, которые были объединены в пары.

Для наглядности рассмотрим набор чисел (1, 2, 3, 4, 5). По методу Сергея, мы могли бы сгруппировать (1 и 2) и (4 и 5), получив средние 1.5 и 4.5 соответственно, оставив 3 без пары. Затем группируем 1.5 и 3 (получаем 2.25), оставляя 4.5 отдельно. Наконец, получаем среднее между 2.25 и 4.5, что даст 3.375. Однако реальное среднее арифметическое этого набора чисел равно 3. Таким образом, метод Сергея привёл к неверному результату.

б) Что касается утверждения друга Сергея Петра, он частично прав: существуют определённые условия, при которых метод Сергея может дать верный результат. Однако это не имеет отношения к конкретным значениям чисел в наборе, а скорее к их количеству и способу их группировки.

Метод Сергея может работать корректно, если количество чисел в наборе является степенью двойки (например, 2, 4, 8, 16 и т.д.), потому что в этом случае числа можно полностью разделить на пары на каждом шаге, не оставляя ни одного числа без пары, и таким образом, каждое число будет внести равный вклад в конечный результат. Однако даже в этом случае начальный выбор пар чисел может привести к разным результатам, если пары выбраны по-разному. Таким образом, метод не является надёжным или последовательным способом вычисления среднего арифметического, даже если количество чисел в наборе является степенью двойки.