В тупоугольном треугольнике ABC AC — наибольшая сторона, AB = 15 см, BC = 18 см, sin A = √5/3. Найдите сторону AC.

Обозначим стороны так: \(AB=15\), \(BC=18\), \(AC=x\). Угол \(A\) лежит напротив стороны \(BC\), значит напротив него сторона \(18\).

Дано: \(\sin A=\frac{\sqrt5}{3}\). Тогда:

\[\cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}\]

Берём положительный косинус, потому что наибольшая сторона \(AC\), значит наибольший угол — не \(A\).

По теореме косинусов:

\[BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A\]

Подставим данные:

\[18^2=15^2+x^2-2\cdot15\cdot x\cdot\frac{2}{3}\]

\[324=225+x^2-20x\]

\[x^2-20x-99=0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[x=\frac{20+\sqrt{400+396}}{2}=10+\sqrt{199}\]

Ответ: \(AC=10+\sqrt{199}\) см.

0 0 Пожаловаться