Задачи на тригонометрию. 10–11 класс. 1) В треугольнике ABC угол C прямой. Известно, что BC = 8√3 и AC = 8. Найдите cos А. 2) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С, ВС = 3√17 и tg A = 4. Найдите АВ. 3) В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = √91/10. Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

1) В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) прямой, \( BC = 8\sqrt{3} \), \( AC = 8 \). Найдём \( \cos A \).

По теореме Пифагора гипотенуза \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{64 + 64 \cdot 3} = \sqrt{256} = 16 \).

Косинус угла \( A \) — отношение прилежащего катета к гипотенузе: \( \cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2} \).

Ответ: \( \dfrac{1}{2} \) (или 0,5).

2) Прямоугольный треугольник \( ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( BC = 3\sqrt{17} \), \( \tg A = 4 \). Найти \( AB \).

\( \tg A = \dfrac{BC}{AC} \Rightarrow AC = \dfrac{BC}{\tg A} = \dfrac{3\sqrt{17}}{4} \).

По теореме Пифагора \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt{17}}{4}\right)^2 + (3\sqrt{17})^2} = \sqrt{\dfrac{9 \cdot 17}{16} + 9 \cdot 17} = \sqrt{\dfrac{153}{16} + \dfrac{2448}{16}} = \sqrt{\dfrac{2601}{16}} = \dfrac{51}{4} = 12{,}75 \).

Ответ: \( \dfrac{51}{4} \) (или 12,75).

3) В треугольнике \( ABC \) угол \( C = 90^\circ \), \( \sin B = \dfrac{\sqrt{91}}{10} \). Найти косинус внешнего угла при вершине \( B \).

Внешний угол при \( B \) равен \( 180^\circ - \angle B \). \( \cos(180^\circ - B) = -\cos B \).

Так как угол \( B \) острый, \( \cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \dfrac{91}{100}} = \sqrt{\dfrac{9}{100}} = \dfrac{3}{10} \).

Тогда косинус внешнего угла: \( -\dfrac{3}{10} = -0{,}3 \).

Ответ: \( -0{,}3 \) (или \( -\dfrac{3}{10} \)).

0 0 Пожаловаться