Можно ли прямоугольник со сторонами 55 см и 39 см разрезать на прямоугольники со сторонами 5 см и 11 см?

Нет, такой прямоугольник разрезать на прямоугольники $5 \times 11$ см нельзя.

Рассмотрим любой вертикальный отрезок внутри большого прямоугольника (не проходящий по линиям разрезов). Он проходит через несколько маленьких прямоугольников. Каждый из них имеет высоту либо 5 см, либо 11 см.

Пусть вертикальная линия пересекает:

• $a$ прямоугольников высотой 11 см (то есть расположенных стороной 5 см по горизонтали и 11 см по вертикали);

• $b$ прямоугольников высотой 5 см.

Тогда сумма высот этих прямоугольников должна дать высоту большого прямоугольника:

Рассмотрим это равенство по модулю 5. Так как $11\equiv1\pmod5$, а $39\equiv4\pmod5$, получаем:

Значит, число $a$ должно при делении на 5 давать остаток 4. Возможные значения $a$ не могут быть большими, потому что высота всего прямоугольника равна 39 см: максимум в него может поместиться только три прямоугольника высотой 11 см.

То есть:

Но среди чисел $0,1,2,3$ нет ни одного, которое давало бы остаток 4 при делении на 5. Получается противоречие.

Следовательно, прямоугольник со сторонами 55 см и 39 см невозможно разрезать на прямоугольники со сторонами 5 см и 11 см.