Выясните, какие из высказываний каждой пары являются отрицаниями друг друга: а) Все квадраты — прямоугольники. Некоторые квадраты — прямоугольники. б) Все квадраты — прямоугольники. Все квадраты — не прямоугольники. в) Все квадраты — прямоугольники. Некоторые квадраты — не прямоугольники.

Коротко переведу каждое высказывание на язык предикатов (S(x): «x — квадрат», R(x): «x — прямоугольник»):

• «Все квадраты — прямоугольники» ⇔ ∀x (S(x) → R(x)).

• «Некоторые квадраты — прямоугольники» ⇔ ∃x (S(x) ∧ R(x)).

• «Все квадраты — не прямоугольники» ⇔ ∀x (S(x) → ¬R(x)).

• «Некоторые квадраты — не прямоугольники» ⇔ ∃x (S(x) ∧ ¬R(x)).

Теперь по парам:

а) «Все квадраты — прямоугольники» vs «Некоторые квадраты — прямоугольники»
Не отрицания. Отрицание ∀x(S→R) — это ∃x(S ∧ ¬R), а не ∃x(S ∧ R). Более того, при наличии хотя бы одного квадрата из первого высказывания следует второе (если все S — R, то уж «некоторые» S — R точно есть). При отсутствии квадратов первое истинно (вакантно), второе ложно — опять же не отрицания в логическом смысле.

б) «Все квадраты — прямоугольники» vs «Все квадраты — не прямоугольники»
Тоже не отрицания. Отрицание первого — существование хотя бы одного квадрата, который не прямоугольник (∃x(S ∧ ¬R)), а не все квадраты «не прямоугольники». Эти два универсальных утверждения несовместимы, но ни одно не является логическим отрицанием другого. Более того, если квадратов вовсе нет, оба универсальных высказывания истинны одновременно — явный признак, что это не взаимные отрицания.

в) «Все квадраты — прямоугольники» vs «Некоторые квадраты — не прямоугольники»
Это именно отрицания друг друга. Формально: ¬∀x(S→R) эквивалентно ∃x(S ∧ ¬R). Одно истинно тогда и только тогда, когда другое ложно.

Итог: отрицаниями друг друга являются высказывания из пункта (в); пары (а) и (б) — не являются.