1. В каких случаях одна переменная является функцией другой?
2. Что такое естественная область определения функции?
3. Приведите пример функции, нуль которой больше, чем f(0).
4. Найдите D(y) и y(3), если y = √x / (x-1).

1. В каких случаях одна переменная является функцией другой?

Одна переменная является функцией другой, если каждому значению одной переменной (обычно её называют независимой переменной или аргументом) соответствует единственное значение другой переменной (её называют зависимой переменной или значением функции).

Например, в записи y = 2x + 3 переменная y является функцией переменной x, потому что каждому значению x соответствует только одно значение y.

2. Что такое естественная область определения функции?

Естественная область определения функции — это множество всех значений независимой переменной, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.

При нахождении естественной области определения учитывают ограничения:

• нельзя делить на ноль;

• подкоренное выражение для квадратного корня должно быть неотрицательным;

• выражение под логарифмом должно быть положительным.

Например, для функции:

значение x = 2 исключается, так как знаменатель становится равным нулю. Поэтому область определения:

3. Приведите пример функции, нуль которой больше, чем f(0).

Нуль функции — это такое значение x, при котором f(x)=0.

Нужно привести функцию, у которой значение, обращающее функцию в ноль, больше, чем значение функции при x = 0.

Например:

Найдём нуль функции:

Значит, нуль функции равен 2.

Теперь найдём:

Получаем:

Следовательно, функция f(x)=x-2 подходит.

4. Найдите D(y) и y(3), если $y=\frac{\sqrt{x}}{x-1}$.

Дана функция:

1) Находим область определения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Знаменатель не должен быть равен нулю:

Объединяем условия:

Следовательно:

2) Находим $y(3)$.

Подставляем $x=3$:

Ответ: