Верно ли утверждение: 1) любой квадрат является параллелограммом; 2) любой ромб является квадратом; 3) любой прямоугольник является квадратом; 4) любой квадрат является прямоугольником; 5) любой квадрат является ромбом; 6) если диагонали четырехугольника равны, то он является прямоугольником; 7) если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он является ромбом; 8) существует ромб, который является прямоугольником; 9) существует квадрат, который не является ромбом; 10) если диагонали четырехугольника не перпендикулярны, то он не является ромбом; 11) если диагонали параллелограмма не равны, то он не является прямоугольником; 12) если диагональ прямоугольника делит его угол пополам, то этот прямоугольник является квадратом?

Верно. Квадрат — это частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны, а углы прямые. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны, а углы могут быть любыми. Квадрат удовлетворяет этим условиям.

Неверно. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Однако углы ромба не обязательно прямые, а квадрат — это ромб, у которого все углы прямые. Следовательно, не каждый ромб является квадратом.

Неверно. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Но у прямоугольника стороны могут быть разными по длине, в то время как в квадрате все стороны равны. Поэтому не каждый прямоугольник является квадратом.

Верно. Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Поскольку все углы в квадрате прямые, то квадрат можно считать прямоугольником.

Верно. Квадрат — это частный случай ромба, у которого все углы прямые. Поскольку в ромбе все стороны равны, а в квадрате все углы прямые, то каждый квадрат является ромбом.

Неверно. Если диагонали четырехугольника равны, это не обязательно означает, что четырехугольник является прямоугольником. Например, равнобедренный трапеция имеет равные диагонали, но не является прямоугольником.

Верно. Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, это обязательно означает, что четырехугольник является ромбом. В ромбе диагонали перпендикулярны и пересекаются в центре, деля друг друга пополам.

Верно. Существует ромб, который является прямоугольником. Такой ромб — это квадрат. В квадрате все стороны равны, и углы прямые, поэтому он одновременно является и ромбом, и прямоугольником.

Неверно. Квадрат — это частный случай ромба. Поскольку все квадраты — это ромбы, то не существует квадрата, который не был бы ромбом.

Неверно. Если диагонали четырехугольника не перпендикулярны, это не исключает того, что он может быть ромбом. Например, в ромбе диагонали не всегда перпендикулярны (если углы ромба не прямые), но он все равно остается ромбом.

Неверно. Параллелограмм, у которого диагонали не равны, может быть прямоугольником, если его углы прямые. Для прямоугольника главное условие — прямые углы, а не равенство диагоналей.

Верно. Если диагональ прямоугольника делит угол пополам, то прямоугольник является квадратом. Это свойство относится именно к квадрату, так как только в нем диагонали равны и перпендикулярны, деля углы пополам.