В записи числа 137*654 оказалась стёртой цифра, и её заменили на *. Какой может быть эта цифра, если число делится на 9?

Число имеет вид 137*654. По признаку делимости на 9 число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Сложим известные цифры:

1 + 3 + 7 + 6 + 5 + 4 = 26.

Пусть стёртая цифра равна $x$. Тогда сумма цифр равна:

$26+x$.

Ближайшее число после 26, которое делится на 9, — это 27. Значит:

$26+x=27$,

откуда:

$x=1$.

Ответ: стёртая цифра — 1.