Найдите наименьшее значение функции y = e^(2x) - 4e^x + 4 на отрезке [-1; 2]

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = e^{2x} - 4e^x + 4$ на отрезке $[-1; 2]$, нужно выполнить следующие шаги.

1. Найдем производную функции.

Функция состоит из трёх слагаемых:

• $e^{2x}$,

• $-4e^x$,

• $4$.

Возьмем производную каждого из этих слагаемых:

• Производная $e^{2x}$ по $x$ — это $2e^{2x}$ (по правилу дифференцирования сложной функции).

• Производная $-4e^x$ по $x$ — это $-4e^x$.

• Производная константы $4$ равна нулю.

Итак, производная функции:

2. Найдем критические точки.

Для этого приравняем производную к нулю:

Решим это уравнение. Можно вынести за скобки $2e^x$:

Получаем два возможных решения:

• $e^x = 0$, что невозможно, так как $e^x$ всегда положительно.

• $e^x = 2$, откуда $x = \ln(2)$.

Таким образом, критическая точка $x = \ln(2)$ (приблизительно $x \approx 0.693$).

3. Проверим значения функции на отрезке $[-1; 2]$.

Теперь, для поиска наименьшего значения функции на отрезке, нам нужно проверить значения функции в следующих точках:

• В концах отрезка $x = -1$ и $x = 2$,

• В критической точке $x = \ln(2)$.

Подставим эти значения в исходную функцию:

• Для $x = -1$:

Приблизительно $e^{-2} \approx 0.135$ и $e^{-1} \approx 0.368$, поэтому:

• Для $x = 2$:

Приблизительно $e^4 \approx 54.598$ и $e^2 \approx 7.389$, поэтому:

• Для $x = \ln(2)$:

Используя $e^{\ln(2)} = 2$ и $e^{2\ln(2)} = 4$, получаем:

4. Сравним значения.

Мы нашли, что:

• $y(-1) \approx 2.663$,

• $y(2) \approx 29.042$,

• $y(\ln(2)) = 0$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ достигается в точке $x=\ln (2)$