При каких значениях a множество решений неравенства (x + a)²(x - 6)(5x - 2) < 0 является числовой промежуток (0,4; 6)?

Рассмотрим неравенство

Нужно, чтобы множество его решений было именно промежутком

1. Найдём знак произведения без учёта квадрата

Рассмотрим множитель

Его нули:

Так как старший коэффициент положительный, произведение будет отрицательным между корнями:

То есть без множителя $(x+a{)}^2$ решение уже совпадает с требуемым промежутком.

2. Учтём множитель $(x+a{)}^2$

Квадрат всегда неотрицателен:

Он не изменяет знак произведения, но в точке

становится равным нулю. Значит, если точка $x=-a$ попадёт внутрь промежутка $(0,4;6)$, она будет исключена из множества решений, и получится не весь промежуток, а промежуток с «дыркой».

Чтобы этого не произошло, необходимо, чтобы

Решим это условие:

Умножаем на $-1$, меняя знаки неравенств:

Следовательно,

При таких значениях $a$ дополнительный ноль от множителя $(x+a{)}^2$ не попадает внутрь интервала $(0,4;6)$, поэтому множество решений остаётся равным именно