Объём данной треугольной пирамиды равен 60. Найдите объём пирамиды, вершиной которой является вершина данной пирамиды, а вершинами основания служат середины сторон основания данной пирамиды.

Дано: объём треугольной пирамиды равен 60. Необходимо найти объём пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной исходной пирамиды, а основанием служит треугольник, образованный серединами сторон основания исходной пирамиды.

Решение:

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания пирамиды, а $h$ — её высота.

Обозначим исходную пирамиду $SABC$, где $ABC$ — её основание, а $S$ — вершина.

Пусть точки $M$, $N$ и $K$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.

Тогда основанием новой пирамиды $SMNK$ является треугольник $MNK$.

1. Найдём отношение площадей оснований.

Поскольку точки $M$, $N$ и $K$ являются серединами сторон треугольника $ABC$, треугольник $MNK$ является срединным.

Каждая сторона треугольника $MNK$ в 2 раза меньше соответствующей стороны треугольника $ABC$.

Следовательно, треугольники $MNK$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $\frac12$.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон:

Таким образом,

2. Найдём объём новой пирамиды.

У исходной и новой пирамид общая вершина $S$, а их основания лежат в одной плоскости. Поэтому высоты этих пирамид одинаковы.

Следовательно, отношение их объёмов равно отношению площадей оснований:

По условию объём исходной пирамиды равен 60. Значит,

Ответ: $\boxed{15}$.