На сколько нулей оканчивается значение произведения $\displaystyle 20^{50} \cdot 50^{20}$?

Чтобы определить, на сколько нулей оканчивается произведение $20^{50}\cdot 50^{20}$, нужно выяснить, сколько множителей 10 содержится в этом числе.

Шаг 1. Разложим основания степеней на простые множители.

Шаг 2. Подставим разложения в исходное выражение.

Используя свойства степеней, получаем:

Соберём степени с одинаковыми основаниями:

Шаг 3. Определим количество нулей в конце числа.

Каждый ноль в конце числа образуется при умножении $2\cdot5=10$.

В нашем произведении содержится:

• 120 множителей, равных 2;

• 90 множителей, равных 5.

Поскольку для получения одной десятки необходимы одна двойка и одна пятёрка, количество десяток определяется меньшим из этих двух показателей.

Следовательно, можно составить ровно 90 десяток:

Число $2^{30}$ не оканчивается нулём, поэтому произведение содержит ровно 90 нулей в конце.

Ответ: $\boxed{90}$ нулей.