Найдите двузначное число, равное квадрату суммы цифр этого числа.

Ответ: 81.

Решение:

Пусть двузначное число равно $10a+b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц.

По условию задачи число равно квадрату суммы своих цифр:

Обозначим сумму цифр через $s=a+b$. Тогда:

Поскольку искомое число двузначное, оно находится в пределах от 10 до 99:

Следовательно, сумма цифр $s$ может принимать только целые значения от 4 до 9.

Проверим все возможные варианты:

• $4^2=16$, сумма цифр $1+6=7\neq4$.

• $5^2=25$, сумма цифр $2+5=7\neq5$.

• $6^2=36$, сумма цифр $3+6=9\neq6$.

• $7^2=49$, сумма цифр $4+9=13\neq7$.

• $8^2=64$, сумма цифр $6+4=10\neq8$.

• $9^2=81$, сумма цифр $8+1=9$.

Последний вариант удовлетворяет условию задачи.

Проверка:

Таким образом, искомое двузначное число — 81. Это единственное двузначное число, которое равно квадрату суммы своих цифр.