Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в остатке 6. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исходное число

Задача состоит в том, чтобы найти двузначное число, которое удовлетворяет определённым условиям при делении на сумму и произведение его цифр.

Обозначим это число как $N = 10a + b$, где $a$ — десятки, а $b$ — единицы.

Условие 1:

Когда число делится на сумму его цифр, частное равно 7, а остаток — 6. Сумма цифр числа: $a + b$. Это означает, что:

Иными словами:

Условие 2:

Когда число делится на произведение его цифр, частное равно 3, а остаток равен сумме цифр числа. Произведение цифр числа: $a \cdot b$. Это условие можно записать как:

То есть:

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. $N = 7(a + b) + 6$
2. $N = 3(a \cdot b) + (a + b)$

Решение системы уравнений:

Подставим выражение из первого уравнения во второе:

Преобразуем это уравнение:

Теперь добавим 6 к обеим частям:

Разделим обе стороны на 3:

Теперь раскроем скобки:

Это уравнение связывает $a$ и $b$. Чтобы решить его, подставим различные целые значения для $a$ и $b$, которые соответствуют двузначному числу.

Пробуем различные значения для $a$ и $b$:

1. Если $a = 8$, то у нас:

Таким образом, $a = 8$ и $b = 3$. Проверим, что это решение удовлетворяет условиям задачи.

Проверка:

Исходное число $N = 10a + b = 10 \times 8 + 3 = 83$.

Условие 1: Сумма цифр $8 + 3 = 11$. Делим $83$ на 11:

Условие выполнено.

Условие 2: Произведение цифр $8 \times 3 = 24$. Делим $83$ на 24:

Остаток равен сумме цифр $8 + 3 = 11$, что также выполняется.

Таким образом, исходное число — 83.