Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 и составляет с боковым ребром угол 45 градусов.

Пусть \(H\) — центр основания, \(A\) — вершина основания, \(S\) — вершина пирамиды. В прямоугольном треугольнике \(SHA\):

\[\tan 45^\circ=\frac{HA}{SH},\qquad HA=12.\]

Это радиус описанной окружности основания. Тогда сторона равностороннего треугольника:

\[a=12\sqrt{3}.\]

Площадь основания:

\[S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=324\sqrt{3}.\]

Объём пирамиды:

\[V=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot324\sqrt{3}\cdot12=1296\sqrt{3}.\]

Ответ: \(1296\sqrt{3}\).

0 0 Пожаловаться