Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна 4 см, а площадь ее полной поверхности равна 186 см². Найдите высоту усеченной пирамиды.

Так как плоскость параллельна основанию правильной четырехугольной пирамиды, сечение тоже является квадратом, причем верхняя отсеченная пирамида подобна исходной.

Плоскость делит высоту в отношении $1:2$, считая от вершины. Значит, высота маленькой отсеченной пирамиды составляет $\frac13$ высоты исходной пирамиды, а все линейные размеры ее основания также в $3$ раза меньше линейных размеров основания исходной пирамиды.

Пусть сторона нижнего основания усеченной пирамиды равна $a$. Тогда сторона верхнего основания равна

Апофема усеченной пирамиды равна $4$ см.

Полная поверхность усеченной пирамиды состоит из двух оснований и боковой поверхности:

Площади оснований:

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, $l=4$ — апофема.

Периметры оснований:

Тогда

По условию полная поверхность равна $186$ см²:

Умножим на $9$:

Сократим на $2$:

Дискриминант:

Тогда

Значит, сторона нижнего основания равна $9$ см, а сторона верхнего основания:

Теперь найдем высоту усеченной пирамиды. Рассмотрим сечение, проходящее через высоту пирамиды и середины противоположных сторон оснований. В этом сечении апофема усеченной пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника.

Разность сторон оснований:

С каждой стороны отступ равен половине этой разности: