1. Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен β. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды с серединой апофемы, равен m. Найти: а) апофему пирамиды; б) боковую поверхность пирамиды.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием в виде правильного треугольника. Пусть высота пирамиды равна $h$, апофема — $a$, и угол между боковыми гранями при основании равен $\beta$. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды с серединой апофемы, равен $m$.

а) Нахождение апофемы пирамиды

1. Определим геометрическое расположение точек.

   • Вершина пирамиды $S$ лежит непосредственно над центром основания.

   • Апофема $a$ — это расстояние от вершины $S$ до середины ребра основания.

   • Высота пирамиды $h$ — это расстояние от вершины $S$ до плоскости основания.

   • Отрезок, соединяющий середину высоты с серединой апофемы, равен $m$.

2. Используем тригонометрические соотношения:
   Треугольный угол $\beta$ между боковыми гранями позволяет выразить связь между высотой и апофемой. Учитывая, что угол $\beta$ — это угол между двумя боковыми гранями, можно записать:

   $$\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{h}{a}$$

   Здесь $h$ — высота пирамиды, а $a$ — апофема.

3. Из этого выражения можно выразить апофему:

   $$a = \frac{h}{\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)}$$

Таким образом, апофему пирамиды можно найти через высоту и угол $\beta$.

б) Нахождение боковой поверхности пирамиды

1. Площадь боковой поверхности представляет собой сумму площадей всех боковых треугольников. Площадь одного бокового треугольника можно вычислить как:

   $$S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$

   Где основание каждого бокового треугольника — это длина ребра основания пирамиды, а высота — это апофема $a$.

2. Длина основания треугольников (то есть длина ребра основания пирамиды) равна $l$. Для правильной треугольной пирамиды длина ребра основания связана с апофемой через геометрические свойства правильного треугольника. В частности:

   $$l = \frac{2a}{\sqrt{3}}$$

3. Площадь боковой поверхности будет равна площади треугольников, умноженной на их количество. Так как основание — правильный треугольник, то боковых треугольников будет 3:

   $$S_{\text{боковая}} = 3 \times \frac{1}{2} \times l \times a = \frac{3}{2} \times \frac{2a}{\sqrt{3}} \times a = \frac{3a^2}{\sqrt{3}}$$

   Упростив выражение, получаем:

   $$S_{\text{боковая}} = a^2 \sqrt{3}$$

Таким образом, боковая поверхность пирамиды имеет площадь $a^2 \sqrt{3}$.