Найдите частное решение уравнения y'' + y' - 6y = 0, если y = 0, y' = 10 при x = 0.

Решим уравнение:

\[ y'' + y' - 6y = 0 \]

Составим характеристическое уравнение:

\[ r^2 + r - 6 = 0 \]

Разложим:

\[ (r+3)(r-2)=0 \]

Отсюда \( r_1=2 \), \( r_2=-3 \). Общее решение:

\[ y=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x} \]

По условию \( y(0)=0 \), значит:

\[ C_1+C_2=0 \]

Производная:

\[ y'=2C_1e^{2x}-3C_2e^{-3x} \]

По условию \( y'(0)=10 \), значит:

\[ 2C_1-3C_2=10 \]

Из \( C_2=-C_1 \):

\[ 2C_1+3C_1=10 \]

\[ C_1=2, \quad C_2=-2 \]

Ответ:

\[ y=2e^{2x}-2e^{-3x} \]

0 0 Пожаловаться