Определите объем шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, учитывая, что центр шара отстоит от вершины пирамиды на a, а от бокового ребра на b.
​

Пусть \(r\) — радиус вписанного шара. Центр шара лежит на высоте пирамиды, поэтому расстояние от вершины до центра равно \(a\).

Из геометрических соотношений для правильной четырёхугольной пирамиды получаем:

\[ b^2=\frac{2a^2r^2}{a^2+r^2}. \]

Отсюда

\[ r=\frac{ab}{\sqrt{2a^2-b^2}}. \]

Объём шара равен:

\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3. \]

Подставим найденный радиус:

\[ \boxed{V=\frac{4\pi a^3b^3}{3\left(2a^2-b^2\right)^{\frac{3}{2}}}}. \]

0 0 Пожаловаться