В правильную четырёхугольную пирамиду, сторона основания которой равна 4 см, вписан шар. Найдите объём пирамиды, зная, что радиус шара равен 1 см.

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

У нас есть правильная четырёхугольная пирамида (то есть пирамида с квадратным основанием) с длиной стороны основания $a = 4$ см. В неё вписан шар радиусом $R = 1$ см. Нужно найти объём пирамиды.

Шаг 1. Вспомним формулу объёма пирамиды

Объём пирамиды вычисляется как:

где $S_{\text{основания}}$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды.

Площадь квадратного основания:

Значит, формула объёма примет вид:

Чтобы найти объём, нужно найти высоту $h$ пирамиды.

Шаг 2. Связь вписанного шара и высоты пирамиды

Вписанный шар касается всех граней пирамиды. Радиус вписанного шара $R$ равен расстоянию от центра шара до любой грани. Для правильной четырёхугольной пирамиды центр шара лежит на линии, соединяющей вершину пирамиды с центром основания (ось симметрии).

Если $h$ — высота пирамиды, а $R$ — радиус вписанного шара, то можно использовать формулу для радиуса вписанного шара в правильную четырёхугольную пирамиду:

где $l$ — апофема боковой грани (расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания).

Шаг 3. Найдём апофему боковой грани

Боковая грань — это равнобедренный треугольник с основанием $a$ и высотой $l$ (апофемой). В таком треугольнике:

Шаг 4. Выразим радиус шара через $h$

Вписанный шар в правильную квадратную пирамиду:

Эта формула получается из геометрии (проверяется построением треугольника через высоту и медиану). Подставим $a = 4$ и $R = 1$:

Разделим обе стороны на 2:

Умножаем крест-накрест:

Шаг 5. Найдём объём

Теперь, когда известна высота $h = 2\sqrt{2}$ см, подставим в формулу объёма:

✅ Ответ