1/(3^x+5) < 1/(3^(x+1)-1)

Чтобы решить неравенство $\frac{1}{3^x + 5} < \frac{1}{3^{x+1} - 1}$, давайте пошагово рассмотрим, что происходит.

1. Перепишем неравенство для удобства:

   $$\frac{1}{3^x + 5} < \frac{1}{3^{x+1} - 1}$$

   Мы видим, что обе стороны неравенства имеют дроби с положительными выражениями в числителе, то есть неравенство имеет смысл при $3^x + 5 > 0$ и $3^{x+1} - 1 > 0$, что выполняется для всех $x$, так как $3^x$ всегда положительно.

2. Преобразуем неравенство: Чтобы избавиться от дробей, можно умножить обе стороны на $(3^x + 5)(3^{x+1} - 1)$, но важно помнить, что при умножении или делении на выражения, которые могут быть отрицательными, нужно учитывать знак. Однако, так как оба выражения $3^x + 5$ и $3^{x+1} - 1$ всегда положительны, умножать можно без изменения знака неравенства:

   $$(3^x + 5)(3^{x+1} - 1) \cdot \frac{1}{3^x + 5} < (3^x + 5)(3^{x+1} - 1) \cdot \frac{1}{3^{x+1} - 1}$$

   Упростив, получаем:

   $$3^{x+1} - 1 < 3^x + 5$$

3. Упростим полученное неравенство: Теперь давайте упростим его:

   $$3^{x+1} - 1 < 3^x + 5$$

   Перекинем все элементы на одну сторону:

   $$3^{x+1} - 3^x < 6$$

4. Используем свойства степеней: Заметим, что $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$, поэтому можем переписать неравенство:

   $$3 \cdot 3^x - 3^x < 6$$

   Вынесем $3^x$ за скобки:

   $$3^x (3 - 1) < 6$$

   Упростим:

   $$3^x \cdot 2 < 6$$

   Разделим обе стороны на 2:

   $$3^x < 3$$

5. Решаем неравенство $3^x < 3$: Поскольку $3^x$ — это экспоненциальная функция, то $3^x < 3$ эквивалентно:

   $$x < 1$$

Итак, решение неравенства $\frac{1}{3^x + 5} < \frac{1}{3^{x+1} - 1}$ — это $x < 1$.