4cos^4*x-4cos^2*x+1=0

Рассмотрим уравнение $4\cos^4{x} - 4\cos^2{x} + 1 = 0$.

1. Пусть $y = \cos^2{x}$. Это преобразует уравнение в более удобную форму:

   $$4y^2 - 4y + 1 = 0.$$

2. Это квадратное уравнение относительно $y$. Используем формулу для решения квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$

   где $a = 4$, $b = -4$, и $c = 1$. Подставим эти значения:

   $$y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} = \frac{4 \pm 0}{8}.$$

   Получаем:

   $$y = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.$$

3. Таким образом, $\cos^2{x} = \frac{1}{2}$.

4. Из этого следует, что $\cos{x} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

5. Теперь найдём $x$. Для $\cos{x} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, решения будут:

   $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

   Для $\cos{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, решения будут:

   $$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, общее решение уравнения $4\cos^4{x} - 4\cos^2{x} + 1 = 0$ — это: