Решить уравнения: 1) sin 2x = 1/2; 2) cos 3x = -√2/2; 3) 2tg x + 5 = 0; 4) 3cos² x - 5cos x -

Ответы на вопрос

Отвечает Кузьмин Андрей.

Решим каждое уравнение по порядку:

1) sin(2x) = 1/2

Решаем уравнение:

\sin(2x) = \frac{1}{2}

Известно, что:

\sin(\theta) = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n

Положим $2x = \theta$ , тогда:

2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi n

Ответ:

x = \frac{\pi}{12} + \pi n, \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

2) cos(3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Значение $\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается при:

\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n

Пусть $3x = \theta$ , тогда:

3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}

3x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}

Ответ:

x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, \quad x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}

3) 2tg(x) + 5 = 0

Решим уравнение:

2\tan(x) + 5 = 0 \Rightarrow \tan(x) = -\frac{5}{2}

Общее решение уравнения $\tan(x) = a$ имеет вид:

x = \arctan\left(-\frac{5}{2}\right) + \pi n

Ответ:

x = \arctan\left(-\frac{5}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

4) 3cos²(x) - 5cos(x) - 12 = 0

Решим квадратное уравнение относительно $y = \cos(x)$ :

3y^2 - 5y - 12 = 0

Найдём дискриминант:

D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169

y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 13}{6} \Rightarrow y_1 = 3, \quad y_2 = -\frac{4}{3}

Последние заданные вопросы в категории Математика

Решить уравнения: 1) sin 2x = 1/2; 2) cos 3x = -√2/2; 3) 2tg x + 5 = 0; 4) 3cos² x - 5cos x - 12 = 0; 5) 3tg² x - 4tg x + 5 = 0; 6) (3 - 4sin x)(3 + 4cos x) = 0; 7) (tg x + 3)(tg x + 1) = 0