Почему детский воздушный шарик, наполненный водородом, поднимается, а надутый воздухом — опускается?

Коротко: решает архимедова сила и разница плотностей газов.

1. Архимедова сила
   Любой шарик вытесняет объём воздуха $V$. Подъёмная сила равна весу вытесненного воздуха:

Чтобы шарик взлетел, эта сила должна быть больше суммарного веса «внутреннего газа + оболочки + ленточки».

2. Почему с водородом взлетает
   Плотность воздуха ~$1{,}2\ \text{кг/м}^3$, а водорода ~$0{,}09\ \text{кг/м}^3$.
   Чистая подъёмная сила (на газ) получается:

и из неё нужно вычесть вес латекса и всего остального. Для обычного латексного шарика объёмом ~14 л ($0{,}014\ \text{м}^3$):

• вес вытеснённого воздуха ≈ $1{,}2 \times 0{,}014 \approx 16{,}8$ г,

• вес водорода внутри ≈ $0{,}09 \times 0{,}014 \approx 1{,}3$ г,

• чистый «газовый» подъём ≈ $16{,}8-1{,}3 \approx 15{,}5$ г.
  Если оболочка с лентой весят, скажем, 2–4 г, остаётся положительный запас — шарик летит вверх.

3. Почему с воздухом тонет
   Если шарик надут обычным воздухом, плотность газа внутри почти такая же, как снаружи (даже чуть больше из-за избыточного давления в растянутом шарике). Тогда:

• вес вытеснённого воздуха ≈ вес воздуха внутри,

• остаётся только добавить вес оболочки (и ленты) — это «лишний» вес, который ничем не компенсируется.
  Итог: шарик тяжелее вытесненного воздуха на массу своей оболочки → опускается.

4. Разовые нюансы

• Тёплый выдох делает внутренний воздух чуть легче, поэтому только что надутый шарик может секунд-другую «повисеть» или плавно опускаться, но по мере остывания он неизбежно тонет.

• Очень маленькие шарики из латекса могут не взлететь даже с водородом/гелием: масса оболочки (большая по отношению к объёму) «съедает» подъёмную силу.

• Водород (как и гелий) быстро диффундирует через латекс, поэтому со временем подъёмная сила падает.

Итого: водородный шарик легче вытесненного им воздуха и, учитывая малую массу газа, тянется вверх; шарик с воздухом не выигрывает в плотности у окружающего воздуха и утяжелён оболочкой — потому и опускается.