Почему воздушный шарик, наполненный водородом, поднимаясь над Землей, увеличивается в объеме?

Коротко: потому что с высотой падает внешнее (атмосферное) давление, и газ внутри шарика расширяется, пока его давление снова не сравняется с наружным.

Если развернуть по шагам:

1. Падение давления с высотой. Атмосфера разрежается: чем выше, тем меньше давление воздуха, «прижимающее» шарик снаружи. Латекс/резина у шарика эластичны, поэтому объём у него не фиксирован — он легко меняется.

2. Идеальный газ в шарике. Для водорода внутри справедливо уравнение состояния:
   $P_{\text{внутр}} V = n R T$.
   Количество газа $n$ почти не меняется, $R$ — константа. Когда шарик поднимается, внешнее давление $P_{\text{наруж}}$ падает, а внутреннее давление держится лишь чуть выше наружного (на величину растяжения оболочки). Чтобы это соблюсти при примерно близкой температуре, газ вынужден увеличить объём $V$.

3. Что с температурой? С высотой обычно холоднее, и при расширении газ ещё и сам охлаждается. Понижение температуры тянет объём вниз, но падение давления тянет его гораздо сильнее вверх. Итог: объём растёт. (Грубо: температура может упасть в ~1,3 раза, а давление — в десятки раз, поэтому произведение $T/P$ и даёт большой рост $V$.)

4. Связь с плавучестью. Подъём обеспечивается тем, что водород легче воздуха. Но по мере роста высоты плотность воздуха падает, и чтобы сохранять подъёмную силу, шарику нужно вытеснять больший объём воздуха — и он как раз увеличивается из-за расширения газа.

5. Почему шарики лопаются. У обычного шарика прочность оболочки ограничена: в каком-то месте растяжение перестаёт выдерживаться — и он рвётся. Поэтому метеозонды на старте недонаполняют: у земли они маленькие, а на высоте десятков километров могут раздуться в разы.

Итого: причина роста объёма — падение внешнего давления с высотой; газ расширяется до нового равновесия, пока оболочка выдерживает.