Снаряд, получивший при выстреле из орудия начальную скорость 280 м/с, летит вертикально вверх. На какой высоте его кинетическая энергия равна потенциальной?

Рассмотрим задачу подробно. Нам нужно найти высоту, на которой кинетическая энергия (КЭ) снаряда станет равной его потенциальной энергии (ПЭ).

Дано:

• Начальная скорость снаряда $v_0 = 280 \, \text{м/с}$,
• Снаряд летит вертикально вверх, то есть его начальная кинетическая энергия полностью передается на преодоление силы тяжести, и на какой-то высоте эта энергия распределится поровну между кинетической и потенциальной энергией.

Решение:

1. Определим полную механическую энергию на момент выстрела, поскольку в системе действует только сила тяжести и энергия сохраняется. Полная механическая энергия $E$ снаряда в любой момент времени будет равна начальной кинетической энергии:

   $$E = \frac{m v_0^2}{2},$$

   где $m$ — масса снаряда (которая в данном случае сократится, так как она содержится в обеих энергиях).

2. Равенство кинетической и потенциальной энергий. Нам нужно найти высоту $h$, при которой кинетическая энергия снаряда будет равна потенциальной. Поскольку кинетическая и потенциальная энергии должны быть равны, на этой высоте каждая из них составит половину от полной энергии.

   Тогда:

   $$\text{КЭ} = \text{ПЭ} = \frac{E}{2} = \frac{m v_0^2}{4}.$$

3. Выразим потенциальную энергию. Потенциальная энергия снаряда на высоте $h$ определяется формулой:

   $$\text{ПЭ} = m g h,$$

   где $g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

4. Составим уравнение. Подставим выражение для ПЭ, когда она равна $\frac{m v_0^2}{4}$:

   $$m g h = \frac{m v_0^2}{4}.$$

   Сократим массу $m$ с обеих сторон уравнения:

   $$g h = \frac{v_0^2}{4}.$$

5. Вычислим высоту $h$:

   $$h = \frac{v_0^2}{4g}.$$

6. Подставим известные значения:

   $$h = \frac{280^2}{4 \cdot 9{,}8}.$$

7. Рассчитаем:

   $$h = \frac{78400}{39{,}2} \approx 2000 \, \text{м}.$$

Ответ: Высота, на которой кинетическая энергия снаряда равна потенциальной, составляет примерно $2000$ метров.