Зависимость угла поворота радиуса вращающегося колеса от времени дана уравнением: fi = 4+5t-t². Найти угловую и линейную скорость вращения колеса, а также полное ускорение точки, лежащей на ободе колеса в конце первой секунды вращения. Радиус колеса 20см.

Для того чтобы найти угловую и линейную скорость, а также полное ускорение точки, лежащей на ободе колеса в конце первой секунды вращения, нужно использовать данные из уравнения угла поворота, а также законы кинематики вращения.

Дано:

• Уравнение угла поворота: $\varphi(t) = 4 + 5t - t^2$, где $\varphi(t)$ — угловое положение в радианах, $t$ — время в секундах.
• Радиус колеса: $R = 20 \, \text{см} = 0.2 \, \text{м}$.

Необходимо найти:

1. Угловую скорость $\omega(t)$.
2. Линейную скорость $v(t)$.
3. Полное ускорение точки, лежащей на ободе колеса.

Шаг 1: Угловая скорость

Угловая скорость $\omega(t)$ — это производная угла поворота по времени:

Возьмем производную от уравнения для угла поворота:

Таким образом, угловая скорость на момент времени $t$:

Шаг 2: Линейная скорость

Линейная скорость точки на ободе колеса связана с угловой скоростью через радиус колеса:

Находим линейную скорость в момент времени $t = 1$ секунда:

Шаг 3: Полное ускорение

Полное ускорение точки на ободе колеса состоит из двух компонентов:

1. Тангенциального ускорения, которое связано с изменением угловой скорости:

   $$a_{\text{tan}} = \frac{d\omega(t)}{dt} \cdot R.$$

   Производная угловой скорости:

   $$\frac{d\omega(t)}{dt} = -2.$$

   Тогда тангенциальное ускорение:

   $$a_{\text{tan}} = -2 \cdot 0.2 = -0.4 \, \text{м/с}^2.$$

2. Центростремительного ускорения, которое связано с линейной скоростью:

   $$a_{\text{centr}} = \frac{v^2(t)}{R}.$$

   Подставим значение линейной скорости $v(1) = 0.6 \, \text{м/с}$:

   $$a_{\text{centr}} = \frac{(0.6)^2}{0.2} = \frac{0.36}{0.2} = 1.8 \, \text{м/с}^2.$$

Шаг 4: Полное ускорение

Полное ускорение — это векторная сумма тангенциального и центростремительного ускорений. Поскольку эти ускорения направлены перпендикулярно друг другу (тангенциальное вдоль касательной к траектории, а центростремительное направлено к центру вращения), полное ускорение можно найти с помощью теоремы Пифагора:

Подставляем значения:

Ответ:

1. Угловая скорость через 1 секунду: $\omega(1) = 3 \, \text{рад/с}$.
2. Линейная скорость через 1 секунду: $v(1) = 0.6 \, \text{м/с}$.
3. Полное ускорение точки на ободе через 1 секунду: $a_{\text{total}} \approx 1.84 \, \text{м/с}^2$.