С высоты 120 м свободно падает без начальной скорости точечное тело. На некоторой высоте h потенциальная энергия этого тела относительно поверхности земли равна половине его кинетической энергии. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите скорость этого тела на высоте h.

Для решения задачи определим основные законы и зависимости, которые здесь применяются:

1. Закон сохранения механической энергии: сумма потенциальной энергии ($E_{\text{пот}}$) и кинетической энергии ($E_{\text{кин}}$) тела в любой момент времени остаётся постоянной, если отсутствуют силы сопротивления.

   $$E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = E_{\text{общ}}$$

   В точке начала падения вся энергия тела является потенциальной ($E_{\text{пот}} = mgh$), а в точке на земле — полностью кинетической ($E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2}$).

2. Условие задачи: на некоторой высоте $h$ потенциальная энергия тела составляет половину его кинетической энергии:

   $$E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} E_{\text{кин}}$$

Теперь приступим к решению:

1. Потенциальная и кинетическая энергия на высоте $h$

Потенциальная энергия на высоте $h$:

Кинетическая энергия на этой же высоте:

По условию задачи:

Упростим выражение:

Сокращаем массу $m$ (она ненулевая):

Выразим скорость $v$:

2. Закон сохранения энергии

Полная механическая энергия тела остаётся постоянной. В начальный момент времени ($h_0 = 120 \, \text{м}$) она равна потенциальной энергии:

На высоте $h$ сумма потенциальной и кинетической энергии также равна $E_{\text{общ}}$:

Сокращаем $m$:

Подставим $v^2 = 4gh$ из предыдущего шага:

Сокращаем $g$ (ненулевое):

3. Найдём скорость на высоте $h$

Теперь, зная, что $h = 40 \, \text{м}$, подставим это значение в формулу для скорости:

Подставим значения ($g = 9.8 \, \text{м/с}^2$, $h = 40 \, \text{м}$):