Вывести формулу модуля всестороннего сжатия.

Модуль всестороннего сжатия $K$ характеризует сопротивление материала равномерному сжатию со всех сторон. Выведем его через модуль Юнга $E$ и коэффициент Пуассона $\nu$.

При всестороннем сжатии на элемент действуют одинаковые нормальные напряжения:

где $p$ — давление.

По обобщенному закону Гука относительная деформация в направлении $x$:

Подставляем ${\sigma }_x={\sigma }_y={\sigma }_z=-p$:

Отсюда

Так как сжатие одинаковое во всех направлениях,

Относительное изменение объема при малых деформациях равно сумме линейных деформаций:

Следовательно,

Модуль всестороннего сжатия определяется как отношение давления к относительному изменению объема:

Знак «минус» нужен потому, что при положительном давлении объем уменьшается, то есть $\Delta V<0$.

Подставляем полученное выражение:

После сокращения получаем:

Также основную зависимость для всестороннего сжатия можно записать как

или

Таким образом, формула модуля всестороннего сжатия через характеристики упругости материала: