Нарисуйте пять стрелок различной длины: a = 3 см, b = 4 см, c = 5 см, d = 7 см, e = 9 см. Стрелки моделируют векторы. Обозначьте векторы , соответственно , как a,b,c,d,e.
Покажите на моделях, как складывать и вычитать векторы.
Какими будут углы между векторами для каждого из равенств:
a+b=d / a+b=c / b-e=c / a-b=d
Каковы максимальное и минимальное значения модуля суммы и модуля
разности для векторов
a и b? Для c и d?

Для того чтобы объяснить решение вашего вопроса, давайте разберем его по частям. Мы будем работать с векторами, которые представлены стрелками разной длины. Длины векторов заданы: $a = 3 \, \text{см}$, $b = 4 \, \text{см}$, $c = 5 \, \text{см}$, $d = 7 \, \text{см}$, $e = 9 \, \text{см}$. Эти векторы обозначены соответственно буквами $a, b, c, d, e$.

Как складывать и вычитать векторы на моделях

1. Сложение векторов. Векторы складываются по правилу "конец к началу". Это означает, что чтобы сложить два вектора, нужно отложить один вектор, а затем приложить к его концу начало второго вектора. Результирующий вектор (сумма) направлен от начала первого вектора до конца второго.

   Например, для сложения векторов $a + b$:

   • Откладываем вектор $a$ длиной 3 см.
   • Затем к его концу прикладываем вектор $b$ длиной 4 см.
   • Результирующий вектор $a + b$ будет направлен от начала $a$ до конца $b$, и его длину можно рассчитать по теореме Пифагора, если векторы перпендикулярны.

2. Вычитание векторов. Вычитание векторов делается следующим образом: чтобы найти $a - b$, нужно прибавить к $a$ противоположный вектор $b$ (вектор, направленный в противоположную сторону). Например:

   • Отложите вектор $a$ длиной 3 см.
   • Затем приложите к его концу вектор $-b$, который направлен в обратную сторону длиной 4 см.
   • Результирующий вектор будет $a - b$.

Углы между векторами для заданных равенств

1. $a + b = d$. Длины векторов $a + b = 3 \, \text{см} + 4 \, \text{см} = 7 \, \text{см}$, что совпадает с длиной вектора $d = 7 \, \text{см}$. Это уравнение верно, если векторы $a$ и $b$ направлены под углом 90°, так как при этом их сумма по теореме Пифагора равна длине $d$. Угол между $a$ и $b$ составляет $90^\circ$.

2. $a + b = c$. Длины $a + b = 3 \, \text{см} + 4 \, \text{см} = 7 \, \text{см}$, но длина вектора $c = 5 \, \text{см}$. Это уравнение неверно, поскольку длины не совпадают. Здесь нет смысла обсуждать угол, так как равенство не выполняется.

3. $b - e = c$. Длины $b - e = 4 \, \text{см} - 9 \, \text{см} = -5 \, \text{см}$, но длина вектора $c = 5 \, \text{см}$. Это уравнение неверно, так как модули векторов не совпадают.

4. $a - b = d$. Длины $a - b = 3 \, \text{см} - 4 \, \text{см} = -1 \, \text{см}$, но длина вектора $d = 7 \, \text{см}$. Это уравнение также неверно.

Максимальные и минимальные значения модуля суммы и разности

Для двух векторов максимальное значение их суммы достигается, если векторы сонаправлены (угол между ними $0^\circ$), а минимальное — если они направлены в противоположные стороны (угол $180^\circ$).

1. Для векторов $a$ и $b$:

   • Максимальная сумма $|a + b|$ = $3 \, \text{см} + 4 \, \text{см} = 7 \, \text{см}$.
   • Минимальная разность $|a - b|$ = $|3 \, \text{см} - 4 \, \text{см}| = 1 \, \text{см}$.

2. Для векторов $c$ и $d$:

   • Максимальная сумма $|c + d|$ = $5 \, \text{см} + 7 \, \text{см} = 12 \, \text{см}$.
   • Минимальная разность $|c - d|$ = $|5 \, \text{см} - 7 \, \text{см}| = 2 \, \text{см}$.

Таким образом, мы получили все необходимые значения для сложения, вычитания векторов и рассмотрели углы между ними.