Найти зависимость от времени угла α между векторами скорости и ускорения, его величину в момент времени t₁, если известен закон изменения радиуса-вектора материальной точки относительно начала координат.

Чтобы найти зависимость от времени угла $\alpha$ между векторами скорости и ускорения материальной точки, а также определить его величину в момент времени $t_1$, необходимо использовать закон движения материальной точки, заданный радиус-вектором $\vec r(t)$.

1. Исходные данные

Пусть радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону:

где:

• $x(t), y(t), z(t)$ — координаты точки, зависящие от времени;

• $\vec i,\vec j,\vec k$ — единичные векторы координатных осей;

• $t$ — время.

Необходимо определить угол $\alpha(t)$ между векторами скорости $\vec v(t)$ и ускорения $\vec a(t)$, а затем вычислить $\alpha(t_1)$.

2. Определение вектора скорости

Вектор мгновенной скорости равен первой производной радиус-вектора по времени:

В координатной форме:

Модуль скорости:

3. Определение вектора ускорения

Вектор ускорения равен первой производной скорости или второй производной радиус-вектора по времени:

В координатной форме: