Вот что обычно имеют в виду, когда просят «существительные с приставкой при-»: это имена существительные, образованные от основ (чаще глагольных или именных) с помощью приставки при-, которая вносит один из типичных смыслов: приближение/прибытие, присоединение/добавление, близость (находится «при чём-то»), доведение до результата, а также небольшая степень/неполнота действия. Ниже — краткие значения и хорошие, живые примеры.

Значения приставки при- у существительных + примеры

1) Приближение, приход, прибытие (движение к цели)
приход, приезд, прилёт, прибытие, приближение, приплытие, пришествие, приток, привоз, пригон (скота).

2) Присоединение, прикрепление, добавление (что-то «к чему-то»)
приложение (к договору), приписка, приварка, припайка, приклейка, пристыковка, присоединение, приращение, прирост, прикуп (в картах), прицеп, прицепка, пристрой, пристройка, приладка, притирка, прижим, прикус, приём (как действие «принять»), приёмка.

3) Близость, нахождение «при/около» чего-то (локативный смысл)
пригород, придорожье, прибрежье, приграничье, приозерье, пригорье, прилесье, приусадебье (разг. — о территории у дома/усадьбы), придел (боковой придел храма), притвор (помещение при входе в храм).

4) Результат доведения/приведения к состоянию
примирение (привести к миру), приучение, приручение, принуждение (приведение к действию), приученность, привыкание, привычка.

5) Небольшая добавка, оттенок, неполнота
привкус, привес, привесок, прищур (немного щуриться), приоткрытие (чуть-чуть открытие).

6) Лица/предметы «при» ком-то или «у» чего-то (служебная/должностная или прилежащая функция)
пристав, привратник, прислуга, приёмник (как устройство для приёма сигнала), приёмная (комната).

Обратите внимание: многие такие существительные образованы от глаголов с при- (прийти → приход, прибыть → прибытие, прилететь → прилёт, приложить → приложение, прирастить → приращение, присоединить → присоединение и т. п.).

Как не путать с пре- (самые частые «ловушки»)

• приёмник (устройство для приёма) — преемник (наследник дела).

• приступ (приступ кашля; приступить к делу) — преступление (нарушение закона).

• призрение (устар. попечение: «дом призрения») — презрение (пренебрежение).

• примирение (мир) — примерение (примерка одежды; другая корневая гласная: мир/мер).

Правило памяти простое: выбирайте при-, когда есть один из смыслов приближения, присоединения, близости, небольшой степени. А пре- — когда это очень (превысокий) или близко к пере- (преобразование ~ «переработка»).

Большая подборка существительных с при-

приход, прибытие, приезд, прилёт, приплытие, привоз, приток, пригон;
приложение, приписка, приклейка, приварка, припайка, пристыковка, прицеп, прицепка, пристрой, пристройка, приладка, притирка, прижим, прикус, приём, приёмка;
пригород, прибрежье, приграничье, приозерье, пригорье, прилесье, придорожье, придел, притвор;
прирост, приращение, привыкание, привычка, приучение, приручение, принуждение, примирение;
привкус, привес, привесок, приоткрытие, прищур;
пристав, привратник, приёмник, приёмная, прислуга.

Нюанс: «при-» не всегда приставка

В заимствованных словах начальное «при» может быть частью корня, а не русской приставкой: призма, приватный, принтер и т. п. Проверяйте однокоренные: если без «при-» остаётся понятная основа (город → пригород, клейка → приклейка), значит, перед вами именно приставка при-.