Растёт при дороге. Склонение и падеж.

Фраза «Растёт при дороге».

• Слово: дорога — имя существительное, женский род.

• Склонение: 1-е склонение (окончание -а в начальной форме).

• Падеж в словосочетании «при дороге»: предложный падеж, единственное число.
  Причина: предлог «при» управляет предложным падежом (при чём? — при дороге).

Для полноты — парадигма склонения «дорога»:

Ед. число

• И.п. — доро́га

• Р.п. — доро́ги

• Д.п. — доро́ге

• В.п. — доро́гу

• Т.п. — доро́гой / дорого́ю

• П.п. — о доро́ге / при доро́ге

Мн. число

• И.п. — доро́ги

• Р.п. — доро́г

• Д.п. — доро́гам

• В.п. — доро́ги

• Т.п. — доро́гами

• П.п. — о доро́гах / при доро́гах

Итого: в вашей фразе форма «дороге» — предложный падеж, ед. число; существительное «дорога» — 1-е склонение.