Определить падеж ПО ОВРАГАМ (ручьи по оврагам шумят)

По оврагам — это форма предложного падежа (ещё его часто называют местным в значении места) с предлогом по.

Почему именно так:

1. Смысл (вопрос):
   В выражении «ручьи по оврагам шумят» говорится, где шумят ручьи, то есть можно задать вопрос:
   где? по чему? → по оврагам.

2. Предлог «по» и значение:
   Предлог по в значении расположения / распределения по пространству (вдоль, по разным местам) обычно требует предложного падежа:

• по лесам (где?),

• по полям (где?),

• по улицам (где?),

• по оврагам (где?).

3. Форма существительного:
   овраг → множественное число: овраги → форма оврагам совпадает по окончанию с дательным (к оврагам), но здесь решает предлог и смысл: с «по» в таком значении это предложный (местный), а не дательный.

Итог: по оврагам — предложный падеж (местный), множественное число.