Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T0 + at + bt^2, где T0 = 1150 K, a = 115 K/мин, b = -0,5 K/мин^2. Известно, что при температуре нагревателя свыше 5650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

Дано:

Температура нагревательного элемента изменяется по закону:

где:

• $T_0=1150$ К — начальная температура;

• $a=115$ К/мин;

• $b=-0{,}5$ К/мин²;

• $T_{\max}=5650$ К — максимально допустимая температура.

Найти: наибольшее время $t$, через которое необходимо отключить прибор.

Решение

1. Подставим известные значения в формулу температуры:

Прибор необходимо отключить до того, как температура превысит 5650 К. Поэтому найдём момент, когда она достигнет этого значения:

2. Преобразуем уравнение:

Перенесём все слагаемые в левую часть:

Умножим обе части уравнения на $-2$:

3. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

Найдём корни:

Первый корень:

Второй корень:

4. Выберем правильный ответ.

Получили два значения времени: 50 и 180 минут.

Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный, график зависимости температуры от времени представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз.

Это означает, что температура сначала повышается, достигает максимума, а затем снижается.

При $t=50$ минут температура впервые достигает 5650 К. После этого она превышает допустимое значение и остаётся выше него до $t=180$ минут.

Следовательно, чтобы избежать повреждения прибора, его необходимо отключить не позднее чем через 50 минут после начала работы.

Ответ: