Доказательство, что диагонали прямоугольника равны.

Доказательство того, что диагонали прямоугольника равны, можно провести с помощью теоремы о свойствах прямоугольников и теоремы Пифагора.

1. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$, где $AB$ и $BC$ — его смежные стороны.

2. Диагонали прямоугольника — это отрезки $AC$ и $BD$, которые соединяют противоположные вершины прямоугольника.

3. Для доказательства равенства диагоналей можно использовать метод доказательства через теорему Пифагора.

4. В прямоугольнике углы между соседними сторонами прямые (по определению прямоугольника). Таким образом, треугольники $ABC$ и $ABD$ являются прямоугольными.

5. Рассмотрим треугольник $ABC$. По теореме Пифагора, длина диагонали $AC$ выражается как гипотенуза прямоугольного треугольника $ABC$:

   $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$$

6. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $ABD$ гипотенуза $BD$ выражается через его катеты $AB$ и $AD$ (где $AD = BC$, так как противоположные стороны прямоугольника равны):

   $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{AB^2 + BC^2}$$

7. Таким образом, длина диагонали $AC$ равна длине диагонали $BD$, так как обе диагонали вычисляются по одной и той же формуле $\sqrt{AB^2 + BC^2}$.

Следовательно, диагонали прямоугольника равны.