докажите, что функция y=4x^9+2sin2x-(1/x)-5 является первообразной для функции y=36x^8+4cos2x+1/x^2

Для того чтобы доказать, что функция $y = 4x^9 + 2\sin(2x) - \frac{1}{x} - 5$ является первообразной для функции $y = 36x^8 + 4\cos(2x) + \frac{1}{x^2}$, нам нужно найти производную функции $y = 4x^9 + 2\sin(2x) - \frac{1}{x} - 5$ и показать, что результат совпадает с функцией $y = 36x^8 + 4\cos(2x) + \frac{1}{x^2}$.

Шаг 1. Находим производную функции $y = 4x^9 + 2\sin(2x) - \frac{1}{x} - 5$.

1. Производная от $4x^9$:

   $$\frac{d}{dx}(4x^9) = 36x^8$$

2. Производная от $2\sin(2x)$:

   $$\frac{d}{dx}(2\sin(2x)) = 2 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 4\cos(2x)$$

3. Производная от $-\frac{1}{x}$:

   $$\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x^2}$$

4. Производная от $-5$ (константы):

   $$\frac{d}{dx}(-5) = 0$$

Шаг 2. Складываем все полученные результаты:

Шаг 3. Сравниваем с заданной функцией.

Мы видим, что результат производной совпадает с функцией, которую мы должны были доказать:

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что функция $y = 4x^9 + 2\sin(2x) - \frac{1}{x} - 5$ является первообразной для функции $y = 36x^8 + 4\cos(2x) + \frac{1}{x^2}$.