Доказать,что sin A+B/2=cos c/2. A,B,C-углы треугольника.

Для того чтобы доказать, что $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cos \left(\frac{C}{2}\right)$, где $A$, $B$, и $C$ — углы треугольника, воспользуемся свойствами углов треугольника и тригонометрическими формулами.

1. Сумма углов треугольника:
   В любом треугольнике сумма углов равна $180^\circ$, то есть:

   $$A + B + C = 180^\circ.$$

   Отсюда можем выразить $C$ как:

   $$C = 180^\circ - A - B.$$

2. Полугодие угла $C$:
   Теперь рассмотрим выражение для угла $\frac{C}{2}$. Подставляем $C = 180^\circ - A - B$:

   $$\frac{C}{2} = \frac{180^\circ - A - B}{2} = 90^\circ - \frac{A + B}{2}.$$

3. Тригонометрическое преобразование:
   Используем тригонометрическую идентичность для косинуса:

   $$\cos \left(90^\circ - x\right) = \sin(x).$$

   Применим эту формулу для $x = \frac{A + B}{2}$:

   $$\cos \left(90^\circ - \frac{A + B}{2}\right) = \sin \left( \frac{A + B}{2} \right).$$

4. Заключение:
   Мы видим, что:

   $$\cos \left( \frac{C}{2} \right) = \sin \left( \frac{A + B}{2} \right),$$

   что и требовалось доказать.