Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1. ААААА

2. ААААО

3. ААААУ

4. АААОА

Выполните следующие задания:

а) определите, сколько всего слов в списке;

б) укажите слова, которые стоят на 101-м, 125-м, 170-м и 210-м местах;

в) укажите порядковые номера слов ОАОАО, УАУАУ, АОУОА, УОАОУ;

г) укажите номера первого и последнего слов, которые начинаются с буквы О.

Рассмотрим лексикографический порядок по алфавиту А < О < У. Удобно сопоставить буквам цифры в троичной системе: А→0, О→1, У→2. Тогда порядковый номер слова — это число в троичной записи (по 5 разрядов), увеличенное на 1; а слово с данным номером получается из троичной записи (номер−1), где 0→А, 1→О, 2→У.

а) Всего слов: $3^5=243$.

б) Найдём слова по номерам (переводим $n-1$ в троичную систему, 5 разрядов):

• 101-е: $100_{10}=1\,0\,2\,0\,1_3 \Rightarrow$ ОАУАО.

• 125-е: $124_{10}=1\,1\,1\,2\,1_3 \Rightarrow$ ОООУО.

• 170-е: $169_{10}=2\,0\,0\,2\,1_3 \Rightarrow$ УААУО.

• 210-е: $209_{10}=2\,1\,2\,0\,2_3 \Rightarrow$ УОУАУ.

в) Найдём номера данных слов (считаем значение троичного числа и прибавляем 1):

• ОАОАО = 1·$3^4$+0·$3^3$+1·$3^2$+0·$3^1$+1 = 81+9+1=91 → 92.

• УАУАУ = 2·$3^4$+0·$3^3$+2·$3^2$+0·$3^1$+2 = 162+18+2=182 → 183.

• АОУОА = 0·$3^4$+1·$3^3$+2·$3^2$+1·$3^1$+0 = 27+18+3=48 → 49.

• УОАОУ = 2·$3^4$+1·$3^3$+0·$3^2$+1·$3^1$+2 = 162+27+3+2=194 → 195.

г) Слова, начинающиеся с О, соответствуют первым разрядам 1**** в троичной записи (дальше любые 4 разряда от 0000 до 2222).

• Первое такое слово: ОАААА = 1 0000$_3$ → номер $1·3^4 + 1 = 81+1 = 82$.

• Последнее такое слово: ОУУУУ = 1 2222$_3$ → номер $1·3^4 + (3^4-1) + 1 = 81 + 80 + 1 = 162$.

Итог:

• а) 243.

• б) 101 — ОАУАО; 125 — ОООУО; 170 — УААУО; 210 — УОУАУ.

• в) ОАОАО — 92; УАУАУ — 183; АОУОА — 49; УОАОУ — 195.

• г) Первое с О — №82 (ОАААА), последнее с О — №162 (ОУУУУ).