Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству: ( 11110002 + FE16 ) ≤ x ≤ ( 2008 + FF8 ).

Чтобы решить задачу, определим значения чисел в разных системах счисления и используем их для нахождения количества натуральных чисел $x$, удовлетворяющих данному неравенству:

1. Определим значение левой границы неравенства:

   • $1111000_2$: это число в двоичной системе счисления. Переведем его в десятичную систему:

     $$1111000_2 = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 64 + 32 + 16 + 8 = 120_{10}$$

   • $FE_{16}$: это число в шестнадцатеричной системе счисления. Переведем его в десятичную систему:

     $$FE_{16} = 15 \cdot 16 + 14 = 240 + 14 = 254_{10}$$

   • Теперь сложим полученные значения:

     $$1111000_2 + FE_{16} = 120 + 254 = 374$$

   Таким образом, левая граница неравенства равна 374.

2. Определим значение правой границы неравенства:

   • $2008$: это число уже в десятичной системе счисления.

   • $FF8_{16}$: это число в шестнадцатеричной системе счисления. Переведем его в десятичную систему:

     $$FF8_{16} = 15 \cdot 16^2 + 15 \cdot 16 + 8 = 3840 + 240 + 8 = 4088$$

   • Теперь сложим полученные значения:

     $$2008 + FF8 = 2008 + 4088 = 6096$$

   Таким образом, правая граница неравенства равна 6096.

3. Определим количество натуральных чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $374 \leq x \leq 6096$:

   Чтобы найти количество натуральных чисел между 374 и 6096 включительно, воспользуемся формулой для количества целых чисел в отрезке $[a, b]$:

   $$b - a + 1$$

   В нашем случае $a = 374$ и $b = 6096$. Подставим значения:

   $$6096 - 374 + 1 = 5723$$

Таким образом, количество натуральных чисел, удовлетворяющих данному неравенству, равно 5723.