Решите, составив математическую модель, следующую задачу.
Теплоход прошёл 4 км против течения реки, а затем прошёл ещё 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть $v$ — это собственная скорость теплохода (в км/ч). Известно, что скорость течения реки составляет 6,5 км/ч.

1. Скорости движения теплохода с учетом течения:

   • При движении против течения его эффективная скорость будет уменьшаться, так как течение замедляет теплоход. Тогда скорость против течения будет равна $v - 6,5$ км/ч.
   • При движении по течению реки скорость теплохода увеличивается, поэтому его скорость в этом случае равна $v + 6,5$ км/ч.

2. Составим уравнение на основе условия задачи о затраченном времени:

   • Для преодоления 4 км против течения за время $t_1$ потребуется время, равное $t_1 = \frac{4}{v - 6,5}$.
   • Для преодоления 33 км по течению за время $t_2$ потребуется время, равное $t_2 = \frac{33}{v + 6,5}$.

   Общее время на весь путь составляет один час. Поэтому:

   $$t_1 + t_2 = 1$$

   Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в уравнение:

   $$\frac{4}{v - 6,5} + \frac{33}{v + 6,5} = 1$$

3. Решим полученное уравнение: Умножим обе части уравнения на $(v - 6,5)(v + 6,5)$, чтобы избавиться от дробей:

   $$4(v + 6,5) + 33(v - 6,5) = (v - 6,5)(v + 6,5)$$

   Раскроем скобки:

   $$4v + 26 + 33v - 214,5 = v^2 - 6,5^2$$

   Упростим уравнение и подставим $6,5^2 = 42,25$:

   $$37v - 188,5 = v^2 - 42,25$$

   Перенесем все в одну сторону уравнения:

   $$v^2 - 37v + 146,25 = 0$$

4. Решим квадратное уравнение: Для решения уравнения $v^2 - 37v + 146,25 = 0$ найдем его дискриминант:

   $$D = 37^2 - 4 \cdot 1 \cdot 146,25 = 1369 - 585 = 784$$

   Тогда:

   $$v = \frac{37 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{37 \pm 28}{2}$$

   Получаем два значения:

   $$v_1 = \frac{37 + 28}{2} = 32,5$$ $$v_2 = \frac{37 - 28}{2} = 4,5$$

   Значение $v = 4,5$ км/ч не подходит, так как оно меньше скорости течения (теплоход не смог бы двигаться против течения с такой скоростью). Поэтому остается только $v = 32,5$ км/ч.

5. Ответ: Собственная скорость теплохода равна 32,5 км/ч.