В системе счисления с основанием N запись числа 87 оканчивается на 2 и содержит не более двух цифр. Чему равно число N? Если у задачи есть несколько решений, выберите наименьшее.

Чтобы решить задачу, нужно определить наименьшее основание системы счисления $N$, при котором число $87$ будет записываться в виде числа, оканчивающегося на $2$ и содержащего не более двух цифр.

Шаги решения

1. Определим общий вид записи числа $87$ в системе с основанием $N$:

   Число $87$ в системе счисления с основанием $N$ может быть записано как:

   $$87 = a \cdot N + b$$

   где $a$ и $b$ — целые числа (цифры в записи числа), и $b$ — это остаток от деления $87$ на $N$ (последняя цифра числа в системе с основанием $N$).

2. Условие задачи:

   По условию, последняя цифра в записи должна быть равна $2$, то есть $b = 2$. Тогда:

   $$87 = a \cdot N + 2$$ $$a \cdot N = 87 - 2 = 85$$

   Получаем, что $87$ можно представить в виде $a \cdot N + 2$, если $N$ является делителем числа $85$.

3. Разложим $85$ на множители, чтобы найти подходящие значения $N$:

   Простое разложение числа $85$ даёт: $85 = 5 \times 17$. Таким образом, возможные значения для $N$, при которых $a$ будет целым, — это $5$ и $17$.

4. Проверка для каждого значения $N$:

   • Если $N = 5$:

     $$87 = a \cdot 5 + 2$$ $$a \cdot 5 = 85 \Rightarrow a = 17$$

     При $N = 5$ число $87$ записывается как $172_5$, что не удовлетворяет условию задачи (больше двух цифр).

   • Если $N = 17$:

     $$87 = a \cdot 17 + 2$$ $$a \cdot 17 = 85 \Rightarrow a = 5$$

     При $N = 17$ число $87$ записывается как $52_{17}$, что удовлетворяет всем условиям: число заканчивается на $2$ и содержит ровно две цифры.

5. Вывод:

   Наименьшее значение $N$, при котором число $87$ в системе счисления с основанием $N$ оканчивается на $2$ и содержит не более двух цифр, — это $17$.

Ответ:

$N = 17$.