В какой системе счисления выполняется равенство 12*31=402

Рассмотрим уравнение 12 * 31 = 402, которое нам нужно решить в какой-то системе счисления.

Шаг 1: Преобразуем числа в десятичную систему счисления.

Предположим, что это равенство верно в некоторой системе счисления с основанием $b$.

• Число 12 в системе счисления с основанием $b$ можно записать как:

  $$12_b = 1 \cdot b^1 + 2 \cdot b^0 = b + 2$$

• Число 31 в системе счисления с основанием $b$ можно записать как:

  $$31_b = 3 \cdot b^1 + 1 \cdot b^0 = 3b + 1$$

• Число 402 в системе счисления с основанием $b$ можно записать как:

  $$402_b = 4 \cdot b^2 + 0 \cdot b^1 + 2 \cdot b^0 = 4b^2 + 2$$

Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное равенство.

Теперь подставим выражения для чисел в уравнение:

Шаг 3: Упростим уравнение.

Рассмотрим левую часть уравнения:

Теперь получаем уравнение:

Шаг 4: Решим уравнение.

Переносим все члены в одну сторону:

Упрощаем:

Теперь можем вынести $b$ за скобки:

Это уравнение имеет два решения:

Поскольку основание системы счисления должно быть больше 1, правильное решение — $b = 7$.

Шаг 5: Проверим решение.

Теперь, когда мы нашли основание $b = 7$, проверим, выполняется ли исходное равенство.

• Число 12 в системе счисления с основанием 7: $$12_7 = 7 + 2 = 9$$
• Число 31 в системе счисления с основанием 7: $$31_7 = 3 \cdot 7 + 1 = 22$$
• Число 402 в системе счисления с основанием 7: $$402_7 = 4 \cdot 7^2 + 2 = 4 \cdot 49 + 2 = 198$$

Теперь проверим исходное равенство:

Равенство выполняется, следовательно, основание системы счисления — 7.

Ответ:

Уравнение 12 * 31 = 402 выполняется в системе счисления с основанием 7.