Исполнитель КУЗНЕЧИК живёт на числовой оси. Начальное положение КУЗНЕЧИКА – точка 0. Система команд Кузнечика:
Вперед 5 – Кузнечик прыгает вперёд на 5 единиц,
Назад 3 – Кузнечик прыгает назад на 3 единицы.
Какое наименьшее количество раз должна встретиться в программе команда «Назад 3», чтобы Кузнечик оказался в точке 21?

Для решения задачи нужно понять, как Кузнечик может оказаться в точке 21, используя команды «Вперед 5» и «Назад 3». Мы будем искать минимальное количество раз, которое команда «Назад 3» должна быть использована.

1. Представление движения

Каждая команда изменяет положение Кузнечика на числовой оси:

• Команда «Вперед 5» увеличивает положение на $+5$.
• Команда «Назад 3» уменьшает положение на $-3$.

Пусть $x$ — количество выполнений команды «Вперед 5», а $y$ — количество выполнений команды «Назад 3». Тогда итоговое положение Кузнечика можно выразить как:

Нам нужно, чтобы $P = 21$.

2. Решение в целых числах

Необходимо найти такие $x$ и $y$, которые удовлетворяют уравнению и являются целыми числами. Также нас интересует минимальное значение $y$.

Шаг 1: Выразим $x$ через $y$

Решим уравнение относительно $x$:

Для того чтобы $x$ было целым числом, числитель $21 + 3y$ должен быть кратен $5$. Это условие можно записать как:

Шаг 2: Упростим выражение

Сократим по модулю $5$:

Так как $-1 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 5)$, уравнение становится:

Шаг 3: Найдём $y$

Чтобы решить это сравнение, подберём $y$, удовлетворяющее уравнению. Умножим обе части на обратный элемент $3$ по модулю $5$. Обратным элементом $3$ по модулю $5$ является $2$, так как:

Умножим на $2$:

Это означает, что $y = 3 + 5k$, где $k$ — целое число.

Шаг 4: Минимизируем $y$

Чтобы $y$ было минимальным, возьмём $k = 0$. Тогда $y = 3$.

3. Проверка решения

Подставим $y = 3$ в исходное уравнение:

Таким образом, $x = 6$, $y = 3$ — решение.

4. Ответ

Наименьшее количество раз, которое команда «Назад 3» должна встретиться в программе, равно 3.