Женя и Саша играют в игру с числами. Женя записывает четырехзначное шестнадцатеричное
число, в котором нет цифр, больших, чем 6. Саша строит из него новое шестнадцатеричное число
по следующим правилам.
a. Вычисляются два шестнадцатеричных числа – сумма двух первых разрядов Жениного числа
и сумма двух последних разрядов Жениного числа.
b. Полученные два шестнадцатеричных числа записываются друг за другом в порядке
возрастания (без разделителей).
Пример. Женино число: 6543. Поразрядные суммы: B, 7. Сашин результат: 7B.
Определите, какое из предложенных чисел может получиться у Саши при каком-то Женином
числе.
1) 4E 2) 67 3) 710 4) A6

Для того чтобы разобраться в задаче, давайте разберёмся поэтапно с правилами и примерами.

1. Женя записывает четырехзначное шестнадцатеричное число, где каждая цифра находится в пределах от 0 до 6. То есть это число состоит только из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2. Саша строит новое число по следующим правилам:

   • Вычисляются два числа:
     • Сумма двух первых разрядов Женина числа.
     • Сумма двух последних разрядов Женина числа.
   • Каждое из этих чисел записывается в шестнадцатеричной системе счисления.
   • Полученные два числа записываются в порядке возрастания.

3. Пример: Возьмём число 6543. Мы вычисляем суммы:

   • Первая сумма: $6 + 5 = 11$ в десятичной системе, что в шестнадцатеричной — это B.
   • Вторая сумма: $4 + 3 = 7$ в десятичной системе, в шестнадцатеричной — это 7. После этого мы записываем числа в порядке возрастания: 7B.

Теперь давайте применим эти правила к предложенным числам.

Рассмотрим варианты:

1. Число 4E:

   • Если первое число $4$, а второе $E$ в шестнадцатеричной системе, то $E = 14$ в десятичной системе.
   • Это означает, что одна из сумм должна быть 4, а другая — 14.
   • Для суммы 4 возможны такие пары чисел, как $0+4$, $1+3$, $2+2$, $3+1$, $4+0$.
   • Для суммы 14 возможны такие пары чисел, как $6+6$.
   • То есть, Женя может записать число $6046$, которое при применении правил даёт сумму 4 и 14, что в порядке возрастания даёт число 4E.

   Следовательно, 4E может быть результатом игры.

2. Число 67:

   • Для суммы 6 и 7 можно найти такие пары:
     • Для 6: $0+6$, $1+5$, $2+4$, $3+3$, $4+2$, $5+1$, $6+0$.
     • Для 7: $1+6$, $2+5$, $3+4$, $4+3$, $5+2$, $6+1$, $7+0$.
   • Однако, такие комбинации невозможны, потому что Женя не может использовать цифры, большие чем 6. Следовательно, число 67 не может быть получено.

3. Число 710:

   • Для суммы 7 и 10 (в десятичной системе) можно попробовать найти такие пары чисел:
     • Для 7 возможны такие пары: $1+6$, $2+5$, $3+4$, $4+3$, $5+2$, $6+1$, $7+0$.
     • Для 10 (в десятичной системе) это $6+4$.
   • Женя не может записать число с суммой 10, так как максимальная возможная сумма — это 6+6=12, что в десятичной системе даёт 12, а не 10. Следовательно, число 710 также невозможно.

4. Число A6:

   • Для суммы A (в десятичной системе 10) и 6:
     • Для 6 возможны такие пары: $0+6$, $1+5$, $2+4$, $3+3$, $4+2$, $5+1$, $6+0$.
     • Для 10 возможна пара $6+4$.
   • Женя может записать число $6644$, которое при применении правил даёт суммы 10 и 6. После этого числа записываются в порядке возрастания: 6A. Таким образом, число A6 тоже не может быть результатом игры.

Итог:

Из предложенных вариантов 4E может быть результатом игры, а остальные — нет.