Узловые числа - это?
Алгоритмические числа - это?
Если можно, то с примерами​

Узловые числа и алгоритмические числа относятся к понятиям из различных областей математики и теории чисел, которые используются в контексте узловой теории и вычислений. Рассмотрим эти понятия подробно.

Узловые числа

Узловые числа (иногда называемые инвариантами узлов) — это числовые характеристики, которые используются для описания, классификации и различения узлов в математической теории узлов. Теория узлов изучает замкнутые кривые в трехмерном пространстве (например, петли или узлы, завязанные на веревке), а узловые числа помогают различать их, даже если узлы можно видоизменить без разрыва.

Пример узловых чисел:

1. Число пересечений (Crossing number): Это минимальное число пересечений, которое можно увидеть в проекции узла на плоскость. Например:

   • Узел-тривиальный круг имеет число пересечений 0.
   • Трефойный узел имеет 3 пересечения.

2. Алгебраическое число пересечений: Сумма знаков пересечений (положительных или отрицательных) в диаграмме узла. Это число может быть положительным, отрицательным или нулевым.

3. Степень Александера-Конвея (Alexander polynomial degree): Это инвариант, основанный на многочленах, который позволяет вычислить более сложные свойства узлов.

Эти числа остаются неизменными при любых деформациях узла, которые не включают разрывы, и поэтому называются "инвариантами".

Алгоритмические числа

Алгоритмические числа относятся к концепции чисел, которые могут быть описаны или вычислены при помощи алгоритма. Это связано с идеями в вычислительной теории и алгоритмической математике.

Определение:

Алгоритмическое число — это число, которое можно задать конечной процедурой или алгоритмом. Такие числа могут быть рациональными, иррациональными, но обязательно вычислимыми.

Пример:

• Число $\pi$ — это алгоритмическое число, так как существует алгоритм для вычисления его значений с любой точностью.
• Число $\sqrt{2}$ — тоже алгоритмическое число, поскольку его значение можно представить в виде последовательности операций.
• Однако не все числа являются алгоритмическими. Существует понятие невычислимых чисел (например, числа Чайтин), для которых не существует алгоритма вычисления.

Основные отличия:

1. Область применения:

   • Узловые числа используются в топологии для работы с узлами.
   • Алгоритмические числа относятся к теории вычислений и чисел.

2. Природа:

   • Узловые числа представляют собой инварианты геометрических объектов.
   • Алгоритмические числа связаны с процессом их вычисления через алгоритмы.

3. Примеры:

   • Узловые числа: число пересечений, степени многочленов узлов.
   • Алгоритмические числа: $\pi, e, \sqrt{2}$.

Эти концепции находятся в разных областях математики, но каждая из них играет важную роль в своей сфере.