Решите задачу Ваш приятель Дима живет в доме, в котором 8 квартир. вы не знаете, в какой именно квартире он живет. Подойдя к дому, вы встретили девочку, которая знает номер квартиры Димы, но после каждого вопроса лишь кивает головой ("да") или мотает ("нет"). Какое наименьшее количество вопросов необходимо задать девочке, чтобы узнать номер квартиры Димы?

Чтобы определить, в какой из 8 квартир живет Дима, используя только ответы "да" или "нет", необходимо минимизировать количество вопросов. Это задача на оптимизацию, связанная с концепцией двоичного поиска.

Обоснование минимального числа вопросов

1. Общее число вариантов: У нас 8 квартир, т.е. всего 8 возможных номеров (от 1 до 8).

2. Принцип двоичного поиска: Каждый вопрос должен максимально делить оставшееся множество возможных вариантов на две равные части. Это позволяет эффективно сокращать число оставшихся квартир.

3. Информация и логарифмы: Для n вариантов минимальное количество вопросов определяется как $\lceil \log_2(n) \rceil$, где $\lceil x \rceil$ — это округление вверх до ближайшего целого числа. Для 8 квартир:

   $$\log_2(8) = 3$$

   Таким образом, чтобы однозначно определить квартиру, потребуется 3 вопроса.

План действий

Используем двоичный метод деления:

1. Первый вопрос: "Номер квартиры меньше или равен 4?"

   • Если ответ "да", возможные варианты: 1, 2, 3, 4.
   • Если ответ "нет", остаются: 5, 6, 7, 8.

2. Второй вопрос: В зависимости от ответа на первый вопрос:

   • Если в первой группе: "Номер квартиры меньше или равен 2?"
     • "Да": остаются 1, 2.
     • "Нет": остаются 3, 4.
   • Если во второй группе: "Номер квартиры меньше или равен 6?"
     • "Да": остаются 5, 6.
     • "Нет": остаются 7, 8.

3. Третий вопрос:

   • Если в первой группе: "Номер квартиры равен 1?" или "Номер квартиры равен 3?" в зависимости от оставшихся двух вариантов.
   • Если во второй группе: аналогично — уточняем среди оставшихся двух вариантов.

Итог

Для определения квартиры Димы достаточно 3 вопросов. Это минимальное количество, поскольку каждый вопрос делит варианты пополам, а $2^3 = 8$, что полностью покрывает все возможные варианты.